Un bon formulaire de trigonométrie permet de retrouver une identité en quelques secondes, sans relire tout un cours. L’objectif ici est simple : regrouper les formules indispensables, les classer par usage et rappeler quand les appliquer dans un exercice de lycée, de prépa ou d’université.
Les bases à connaître avant d’utiliser le formulaire
La trigonométrie repose d’abord sur le cercle trigonométrique. Pour un angle x, le cosinus correspond à l’abscisse du point sur le cercle, le sinus à son ordonnée, et la tangente au quotient des deux lorsque cos(x) n’est pas nul.
| Fonction | Définition utile | Condition |
|---|---|---|
| sin(x) | ordonnée sur le cercle trigonométrique | définie pour tout x |
| cos(x) | abscisse sur le cercle trigonométrique | définie pour tout x |
| tan(x) | sin(x) / cos(x) | cos(x) ≠ 0 |
| cotan(x) | cos(x) / sin(x) | sin(x) ≠ 0 |
Relations fondamentales
Ces relations sont les premières à mémoriser, car elles servent à simplifier de nombreuses expressions et à passer d’une fonction trigonométrique à une autre. Elles reviennent aussi dès qu’un exercice mélange des sinus, des cosinus et des tangentes.
- sin²(x) + cos²(x) = 1
- tan(x) = sin(x) / cos(x)
- 1 + tan²(x) = 1 / cos²(x), lorsque cos(x) ≠ 0
- 1 + cotan²(x) = 1 / sin²(x), lorsque sin(x) ≠ 0
Parité et périodicité
Ces propriétés évitent beaucoup de calculs inutiles, surtout dans les équations trigonométriques et l’étude de fonctions. Elles permettent de ramener un angle à une forme plus simple sans refaire tout le raisonnement.
- sin(-x) = -sin(x)
- cos(-x) = cos(x)
- tan(-x) = -tan(x)
- sin(x + 2π) = sin(x)
- cos(x + 2π) = cos(x)
- tan(x + π) = tan(x)
Valeurs remarquables et angles associés
Les valeurs remarquables sont la base du calcul rapide. Elles reviennent dans les équations, les limites, les primitives, les nombres complexes et la physique. Les connaître par cœur fait gagner du temps à chaque étape.
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| sin(x) | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos(x) | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan(x) | 0 | √3/3 | 1 | √3 | non définie |
Angles associés à retenir
Les angles associés permettent de ramener un angle compliqué à un angle remarquable. Sur le cercle trigonométrique, les symétries donnent les signes et conservent souvent la valeur absolue. C’est souvent le chemin le plus court pour évaluer une expression sans calculs lourds.
- sin(π – x) = sin(x)
- cos(π – x) = -cos(x)
- sin(π + x) = -sin(x)
- cos(π + x) = -cos(x)
- sin(π/2 – x) = cos(x)
- cos(π/2 – x) = sin(x)
- sin(π/2 + x) = cos(x)
- cos(π/2 + x) = -sin(x)
Formules d’addition, de duplication et d’angle moitié
Ces formules servent à développer, simplifier ou transformer des expressions trigonométriques. Elles sont utiles dès qu’un exercice contient deux angles, un angle double ou une équation à ramener à une forme plus simple. Ce sont aussi des formules de travail pour vérifier un résultat.
Addition et soustraction
- cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
- cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
- sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
- sin(a – b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b)
- tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 – tan(a)tan(b)]
- tan(a – b) = [tan(a) – tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)]
Un repère simple suffit souvent : dans la formule du cosinus, le terme croisé change de signe, alors que dans la formule du sinus, le signe suit l’opération. Ce contraste évite bien des erreurs de recopie quand les angles deviennent plus longs.
Angle double
- sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
- cos(2x) = cos²(x) – sin²(x)
- cos(2x) = 2cos²(x) – 1
- cos(2x) = 1 – 2sin²(x)
- tan(2x) = 2tan(x) / [1 – tan²(x)]
Les trois écritures de cos(2x) ne sont pas interchangeables par hasard : on choisit celle qui ressemble le plus à l’expression déjà présente dans l’exercice. Si une expression contient surtout des sinus, la forme 1 – 2sin²(x) est souvent la plus directe. Si elle contient surtout des cosinus, 2cos²(x) – 1 évite une étape de plus.
Angle moitié
- sin²(x/2) = [1 – cos(x)] / 2
- cos²(x/2) = [1 + cos(x)] / 2
- tan²(x/2) = [1 – cos(x)] / [1 + cos(x)]
- tan(x/2) = sin(x) / [1 + cos(x)], si 1 + cos(x) ≠ 0
- tan(x/2) = [1 – cos(x)] / sin(x), si sin(x) ≠ 0
Retenez une logique simple : les formules d’angle moitié partent souvent de celles d’angle double. Par exemple, si sin²(x/2) disparaît de mémoire, repartez de cos(2u) = 1 – 2sin²(u), puis posez u = x/2. Cette méthode aide à reconstruire le formulaire au lieu de l’apprendre comme une suite de lignes isolées.
Transformations produit-somme et somme-produit
Ces transformations sont très utiles pour résoudre certaines équations, simplifier des expressions et calculer des intégrales. Elles permettent de passer d’un produit difficile à une somme plus simple, ou de réécrire une somme sous une forme plus maniable.
Transformer un produit en somme
- cos(a)cos(b) = [cos(a + b) + cos(a – b)] / 2
- sin(a)sin(b) = [cos(a – b) – cos(a + b)] / 2
- sin(a)cos(b) = [sin(a + b) + sin(a – b)] / 2
Ces formules apparaissent souvent en analyse, par exemple lorsqu’il faut intégrer sin(3x)cos(2x). On remplace alors le produit par une somme de sinus, plus simple à traiter terme à terme. Le calcul devient plus lisible, et l’erreur de signe est plus facile à repérer.
Transformer une somme en produit
- cos(p) + cos(q) = 2cos[(p + q)/2]cos[(p – q)/2]
- cos(p) – cos(q) = -2sin[(p + q)/2]sin[(p – q)/2]
- sin(p) + sin(q) = 2sin[(p + q)/2]cos[(p – q)/2]
- sin(p) – sin(q) = 2cos[(p + q)/2]sin[(p – q)/2]
Pour ne pas confondre ces formules, observez qu’elles utilisent toujours la demi-somme et la demi-différence des deux angles. C’est le point commun à retenir avant les signes. Une fois ce réflexe acquis, la bonne écriture revient plus vite.
Bien utiliser et imprimer son formulaire de trigonométrie
Un formulaire efficace ne se lit pas comme une fiche de cours. Il se consulte en situation, devant une expression à simplifier, une équation à résoudre ou un calcul à vérifier. Le plus important est donc de savoir quelle famille de formules utiliser au bon moment.
| Situation | Formules à privilégier |
|---|---|
| Deux angles a et b apparaissent | addition et soustraction |
| Un angle 2x apparaît | duplication |
| Des carrés sin² ou cos² apparaissent | relations fondamentales, angle moitié |
| Un produit sin(a)cos(b) apparaît | produit-somme |
| Une équation trigonométrique est à résoudre | angles associés, valeurs remarquables, périodicité |
Exemple rapide d’application
Pour simplifier sin(3x)cos(x), on utilise la transformation produit-somme : sin(a)cos(b) = [sin(a + b) + sin(a – b)] / 2. En posant a = 3x et b = x, on obtient sin(3x)cos(x) = [sin(4x) + sin(2x)] / 2. La forme finale est souvent plus exploitable pour une primitive ou une équation, parce qu’elle sépare le produit en deux termes simples.
Version imprimable
Pour réviser efficacement, gardez une fiche courte : valeurs remarquables en haut, relations fondamentales au centre, puis formules avancées en bas. Vous pouvez aussi créer votre propre PDF à partir de cette page avec la fonction d’impression du navigateur, en choisissant une mise en page compacte et l’option noir et blanc. L’essentiel est d’avoir un support lisible, rapide à parcourir et facile à annoter.
Télécharger le formulaire de trigonométrie en PDF
- Écrit du bac de français : dissertation, commentaire ou contraction, comment choisir en 4 heures ? - 31 juillet 2026
- 3 à 7 jours de repos, puis des devoirs courts : le bon rythme pendant les vacances - 30 juillet 2026
- Primes enseignants : traitement indiciaire, montants et revalorisation 2026 - 30 juillet 2026
Partager cet article
Articles qui pourraient vous intéresser :
Calculer la diagonale d’un carré : formule, démonstration et propriétés géométriques
Calculer la surface d’un disque : formule, méthode et erreurs à éviter
πd²/4 : la formule directe pour calculer l’aire d’un disque à partir du diamètre
12 de moyenne en seconde générale : le bon repère pour passer et préparer la première